线性方程组的直接解法方法很多，包括Gauss消去法、选主元消去法、平方根法和追赶法等等。但是在MATLAB中，可以直接利用“\”或者“/”来解决问题。这两种方法的内部包含非常多的自适应算法，比如对超定方程使用最小二乘法；对欠定方程给出误差范数最小的一个解；对三对角阵方程组使用追赶法。
一. 直接求解：矩阵除法对线性方程
求解，MATLAB调用格式如下：x=A\B调用此函数时，矩阵A、B必须具有相同的行数。如果矩阵A没有正确缩放或者接近奇异矩阵，运行代码时，MATLAB就会显示警告信息。
对矩阵A可以分成如下三种情况：如果A是标量，那么A\B就等同于A.\B如果A是
方阵，B是n行矩阵，那么A\B就是方程A*X=B的解如果A是
矩阵，而且
，B是m行矩阵，那么A\B返回方程组A*X=B的最小二乘解例题1
解如下方程：
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;A=[0.4096 0.1234 0.3678 0.2943;0.2246 0.3872 0.4015 0.1129;0.3645 0.1920 0.3781 0.0643;0.1784 0.4002 0.2786 0.3927];b=[0.4043;0.1150;0.4240;-0.2557];x=A\b;x' %将结果输出为行向量
运行结果：
ans =
0.332683779325239
-1.412140862756104
1.602847655449206
-0.500293786006566例题2 A为4阶的幻方矩阵，求解线性方程组Ax=b。b的表达式如下：
备注：幻方矩阵的定义：如果一个数组具有相同行列且每行，每列和对角线上的和都一样，则成这些数组则成为魔方矩阵，又叫幻方矩阵。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;A=magic(4); %生成四阶的幻方矩阵b=[34;34;34;34];x=A\b;x'
运行结果：
ans =
0.980392156862745
0.941176470588235
1.058823529411765
1.019607843137255
分析：
4阶的幻方矩阵是奇异矩阵，奇异矩阵也能求解，但是MATLAB会生成警告，警告信息如下：警告: 矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确。RCOND = 4.625929e-18。;例题3对线性方程组Ax=b进行求解，并分析是否有误差。A，b矩阵如下：
，
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;A=[1 2 0;0 4 3];b=[8;18];x=A\b E=norm(b-A*x) %求范数误差
运行结果：
x =0
3.999999999999997
0.666666666666670
E =
7.160723346098895e-15
分析：此方程属于欠定方程，MATLAB采用最小二乘法进行求解，所以会出现误差另外最后举一个利用稀疏矩阵对简单线性方程组Ax=B进行求解。
MATLAB代码：
clc;clear;A=sparse([0 2 0 1 0;4 -1 -1 0 0;0 0 0 3 -6;-2 0 0 0 2;0 0 4 2 0]);%稀疏矩阵B=sparse([8;-1;-18;8;20]); %稀疏矩阵x=A\B E1=norm(B-A*x) %范数误差
运行结果：
x =(1,1) 1.000000000000000 (2,1) 2.000000000000000 (3,1) 3.000000000000000 (4,1) 4.000000000000001 (5,1) 5.000000000000001 E1 =
4.189529226675416e-15
二. 直接求解：判断求解
给定矩阵A,B如下：
形成解的判定矩阵C
如下：
线性方程组有解的判断定理将分成三种情况：2.1 m=n且rank(A)=rank(C)=n此时，方程组有唯一的解
例题4
求解如下方程组：
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;A=[1 2 3 4;4 3 2 1;1 3 2 4;4 1 3 2];B=[5 1;4 2;3 3;2 4];C=[A B];%判定前提条件rank_A=rank(A) rank_C=rank(C)%求解x1=inv(A)*B%计算范数误差E1=norm(A*x1-B)%计算精确解x2=inv(sym(A))*B%计算范数误差E2=norm(A*x2-B)
运行结果：
rank_A =4 rank_C = 4 x1 =-1.800000000000000 2.399999999999999 1.866666666666666 -1.266666666666667 3.866666666666667 -3.266666666666667-2.133333333333333 2.733333333333333 E1 =7.291088482824584e-15 x2 =[ -9/5, 12/5][28/15, -19/15][ 58/15, -49/15][ -32/15, 41/15]E2 =0 2.2 rank(A)=rank(C)=r 此时需要求取A矩阵的化零矩阵 rank =2分析：说明有解，且解不止一个Z =[ 2, 3][ -5/2, -7/2][ 1, 0][ 0, 1]分析：此结果可以解释为，如下等式： x0 =125/131 96/131-10/131-39/131 E =0分析：此方法求出的结果没有误差x2 =2*a3 + 3*a4 + 125/131 96/131 - (7*a4)/2 - (5*a3)/2 a3 - 10/131 a4 - 39/131分析：此结果可以写成通式如下： 此时只能采用摩尔-彭罗斯（Moore-Penrose）广义逆求解出其最小二乘法，MATLAB格式如下： 三. 矩阵求逆解线性方程组通过反转系数矩阵A，也可以实现对线性方程组Ax=b的求解。不幸的是，与之前反斜杠计算的方法相比，此方法的运算速度会更慢，残差也相对较大。但其实，它也有它的优点，我们来看一道例题。 例题 6利用八阶的幻方矩阵，来比较MATLAB中x1=A\b和x2=pinv(A)*b两种求解方法的精确度。 rank_A1 =3警告: 秩亏，秩 = 3，tol = 1.882938e-13。 （由于A1矩阵非方阵，所以运算秩时矩阵出现警告，与矩阵秩相关的介绍可以看以下文章） 基于MATLAB的矩阵性质：行列式，秩，迹，范数，特征多项式与矩阵多项式_唠嗑！的博客-CSDN博客x1 = 0 0 0 norm_x1 =5.099019513592784 E1 =1.392373714442771e-13 x2 = norm_x2 =3.281650616569467 E2 =4.019436694230464e-13 （1）将A矩阵转换为A1，因为当只有六列时，方程仍然是一致的，依旧存在解，而且解并非全由1组成。另外，由于矩阵低秩，所以会有无数个解。 （2）根据范数误差计算的结果，两种求解方法精度一致（3）解x1的特殊之处在于它只有三个非零元素；解x2的特殊之处在于它的norm(x2)非常小，MATLAB格式如下：
Z=null(A)或者求取A矩阵的化零矩阵的规范形式，MATLAB格式如下：
Z=null(A,'r')例题5求解以下方程组:解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;A=[1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2];B=[1;3;2;6];C=[A B];%判断可解性rank=[rank(A),rank(C)]%求解出规范化的化零空间Z=null(sym(A))%求特解x0=sym(pinv(A)*B)%验证得出的解a1=randn(1);a2=rand(1); %a1和a2是不同分布的随机数x1=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;E=norm(double(A*x1-B))%将通解表示出来syms a3 a4;x2=a3*Z(:,1)+a4*Z(:,2)+x0运行结果：
2.3
x=pinv(A)*B这种方法只能使误差范数测度||Ax-B||取的最小值，并不能完全符合原始的代数方程。解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;A=magic(8);A1=A(:,1:6); %行数全取，列数保留1~6列，具体原因见"分析"rank_A1=rank(A1) b=260*ones(8,1); %260是原A矩阵的幻数和%使用反斜杠法求解x1=A1\b norm_x1=norm(x1) E1=norm(A1*x1-b)%使用pinv()函数求解x2=pinv(A1)*b norm_x2=norm(x2) E2=norm(A1*x2-b)运行结果：
2.999999999999998
4.000000000000000
1.000000000000002
1.153846153846151
1.461538461538463
1.384615384615385
1.384615384615383
1.461538461538461
1.153846153846153
分析：